Даруємо!!!

Модель Хотеллінга-Даунса в теорії ігор


У 1929 році з’явилася робота Хотеллінга, в якій він розглядав економічні приклади, в яких кілька фірм, конкурували за споживачів.

Після цього, вже в середині XX століття, в 1957 році, Ентоні Даунс в книзі «Економічна теорія демократії», яка стала класикою, розширив і популяризував цю модель, переніс її на область політичної конкуренції.

І фактично тому цю модель тепер можна називати моделлю Хотеллінга – Даунса.

Давайте уявимо собі таку ситуацію. Нехай у нас є деяка країна. У цій країні діє, для початку, двопартійна система, і зараз мають відбутися чергові вибори.

Давайте уявимо, що у нас зафіксовано якесь головне питання, яке зараз обговорюється в цій країні, і від позиції партій з цього питання залежить результат виборів. Давайте уявимо, що, наприклад, в якості цього питання фігурує питання про ступінь втручання держави в економіку. Кожна з партій займає якусь певну позицію з цього питання, і в рамках нашої моделі ми будемо вважати, що виборці будуть робити свій вибір, за яку з цих партій проголосувати, на підставі свого ставлення до позиції партій з цього питання.

Гравці в нашій моделі – це партії, які одночасно роблять свій стратегічний вибір: яку позицію з питання про ступінь втручання держави в економіку зайняти.

У нас є політичний простір. Його ми будемо представляти у вигляді відрізка від 0 до 1. І точка на цьому відрізку буде означати ту чи іншу політичну позицію.

Чим лівіше ця точка, чим ближче вона до нуля, тим меншою ролі держави в економіці дотримується людина або партія, яка займає цю позицію. Екстремальний приклад: точка 0 відповідає позиції: «країна не повинна втручатися в економіку». А точка 1, навпаки: «держава економіку має повністю регулювати».

Формально описуємо гру. Я нагадаю, що для того щоб описати гру, нам потрібно вказати: перше – безліч гравців, друге – безліч всіх можливих стратегій кожного гравця і третє – вказати платежі, які отримують гравці в кожному можливому профілі стратегій. У нашій моделі є два гравці, дві партії, А і В. Ми також будемо називати їх кандидатами.

Взагалі кажучи, цю ж модель можна використовувати для аналізу конкуренції індивідуальних кандидатів, не обов’язково партій. Будемо говорити, що партія А може зайняти будь-яку позицію на відрізку від 0 до 1. Тобто її стратегія – це безліч чисел від 0 до 1. Вона оголошує позицію а (маленьке), і це число від 0 до 1. Точно також партія В , кандидат В, оголошує свою позицію по відношенню до цього питання. Тобто теж оголошує число від 0 до 1. Вони роблять це одночасно. Ми маємо справу з одночасною грою. Ми моделюємо її у вигляді гри в нормальній формі.

Будемо вважати, що кандидати максимізують ймовірність своєї перемоги на виборах. Їх не так хвилює доля голосів, яку вони отримають, головне – це ймовірність їх перемоги.

Наприклад, може виявитися, що кандидат А вибере позицію 0,2, а кандидат В – позицію 0,8. Це профіль стратегій. Крім кандидатів у нас є виборці. Вони в нашому випадку не є стратегічними гравцями. Будемо вважати, що у нас виборці рівномірно розташовані вздовж цієї прямої. Можна вважати, що вони живуть уздовж цієї прямої, тобто займають позицію, яка відповідає точкам на прямий. Тобто виборців, які займають ліву позицію, приблизно стільки ж, скільки центристів, приблизно стільки ж, скільки виборців, які займають праву позицію. Кожен виборець має свою ідеальну точку.

І давайте введемо ще одне позначення. Через m будемо позначати ідеальну точку медіанного виборця, тобто такого виборця, що зліва від нього буде розташовуватися рівно стільки ж виборців, скільки і праворуч від нього. Отже, якщо ми припустили, що виборці у нас розташовані рівномірно уздовж відрізка від 0 до 1, то медіанний виборець, очевидно, буде знаходитися в точці 0,5. Його ідеальна позиція, тобто позиція по відношенню до питання про роль втручання держави в економіку, – це 50%.

Наприклад, якийсь виборець може займати позицію 0,3. Це означає, що він вважає, що держава повинна втручатися в економіку на 30%. Природно, це дуже умовна річ. Складно пояснити, що означає, що держава втручається в економіку на 30%. Для нас, скоріше, тут важливе ставлення позицій один по відношенню до одного. Чим лівіше позиція того чи іншого виборця або чим лівіше позиція того чи іншого кандидата, тим цей виборець або кандидат вважає, що втручання держави в економіку має бути менше.

Як влаштовані платежі виборців?

Давайте вважати, що платіж виборця, який живе в точці xi, тобто ідеальна точка якого – це xi, в разі, якщо на виборах перемагає кандидат, який займає позицію x, – це просто мінус довжина отрезочка від x до xi. Тобто чим далі позиція кандидата-переможця від моєї особистої позиції по відношенню до головного питання на виборах, тим мені гірше. Ну, досить логічно. Значить, кожен виборець при виборі з декількох кандидатів – з першого, другого, третього – буде віддавати перевагу того кандидата, чия позиція по відношенню до головного питання буде найбільш близька до його власної позиції.

Наприклад, якщо у нас є виборець, який живе в точці 0,3, і є два кандидати, які балотуються на виборах, – один з них, кандидат А, займає позицію 0,2, інший, кандидат В – позицію 0,8, – то в разі, якщо переможе кандидат а, платіж Льоні, нашого виборця, складе мінус 0,1, а якщо переможе кандидат в – мінус 0,5. Значить, Льоня воліє кандидата А. Його позиція ближче до його власної. Ми будемо вважати, що виборці голосують відповідно ось з цією своєю функцією корисності. Вони голосують чесно, тобто вони вибирають того кандидата, чия позиція їм найбільш близька. При цьому вони не замислюються стратегічно про те, що може статися на виборах.

Що таке стратегічне голосування?

Іноді виборці можуть розмірковувати так: я точно знаю, що мій кандидат, якого я вважаю за краще, на виборах не переможе. Тоді вже краще я проголосую за другого за бажанням для мене кандидата, який зможе завдяки моєму голосу з більшою ймовірністю отримати перемогу на виборах. Ну або, якщо мова йде про партії, то мій голос принесе другий по перевагу для мене партії додаткові місця в парламенті.

Ось ми вважатимемо, що такого стратегічного голосування в нашій моделі немає. Тоді аналіз цієї моделі став би ще більш складним.

Це окреме явище, яке потрібно вивчати і яке вивчають колеги, що працюють в області теорії ігор.

Ми зупинимося на найпростішому варіанті моделі. Ми будемо вважати, що кожен виборець голосує нестратегічно, а саме, він голосує за дуже простим правилом: за того кандидата, чия позиція ближче до його власної позиції. Саме тому ми говоримо, що виборці в нашій моделі – це не стратегічні гравці. Вони і не гравці зовсім – вони не роблять ніякого стратегічного вибору. Вони голосують автоматично за певним нами тільки що правилом.

Є один випадок, який потрібно обумовити окремо: якщо є кілька кандидатів, позиції яких однаково близькі виборцеві, то він буде голосувати відповідно до результатом чесної лотереї, а саме: якщо у нас n кандидатів зайняли однаково близьку позицію по відношенню до виборця, то цей виборець, прийшовши на вибори, зайшовши в кабінку, підкине n-сторонню монетку, і в залежності від того, на яку сторону ця монетка впаде, він проголосує за того чи іншого кандидата.

Давайте розглянемо ще один приклад: нехай у нас є два виборця. Один з них, як і раніше, живе в точці 0,3, а інший, медіанний виборець, живе в точці 0,5. І є два кандидати на виборах. Як і раніше, один з них, кандидат А, займає точку 0,2, а інший, кандидат В – точку 0,8. За кого проголосують наші виборці? Льоня проголосує за кандидата А. Його позиція ближче по відношенню до його власної, ніж у кандидата В. А ось для медіанного виборця позиції кандидатів А і В будуть однаково кращі, однаково далекі від нього. Тому медіанний виборець, прийшовши на вибори, підкине монетку, тобто з ймовірністю 0,5 проголосує за кандидата А і з ймовірністю 0,5 проголосує за кандидата В. Тепер, хто ж вибори виграє? Вибори виграє той кандидат, який отримує більше голосів.

Якщо раптом кілька кандидатів набрали однакову кількість голосів, то тоді ці кандидати теж грають в чесну лотерею, збираються в Центрвиборчкомі, підкидають монетку, і в залежності від того, на чию сторону впаде монетка, той чи інший кандидат виграє вибори.